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パスカルの三角形 Pascal's triangle パスカルの三角形の性質パスカルの三角形には色々な性質を持っています。本ページではその中からいくつかを紹介します。パスカルの三角形の作り方パスカルの三角形の作り方は非常に単純なルールに基づいています。まず1段目と各段の両端に1を置きます。そしてその他の数は左上と右上の数の和を置きます。例えば3段目.

パスカルの三角形 a+b6. パスカルの三角形が何故(ab)^nの係数に関係するのか、ということですね。難しいご質問ですね。 (ab)^2=(ab)(ab)=a*aa*ba*bb*bですから (ab)=a^2ab abb^2 a^22abb^2 なので、係数が1，2，1になっています。 (ab)^3=(ab)(ab)(ab). パスカルの三角形拡張今、2つの項をもつ式を次数を上げながら展開していきます。 (ab) 1 = a b (ab) 2 = a 2 2ab b 2 (ab) 3 = a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 (ab) 4 = a 4 4a 3 b 6a 2 b 2 4ab 3 b 4 (ab) 5 = a 5 5a 4 b 10a 3 b 2 10a 2 b 3 5ab 4 b 5. この数の三角形は「パスカルの三角形」と呼ばれる。パスカルの三角形 a＋bのn乗を展開した各項は、二項和のn乗という元の式を見ればわかるように、 (a,b)対n個というaとbの対(a,b)n個の中からa, bのどちらかを必ず選んで積を作ることになるから、各項は、二項展開の各項の形という形でできていて、aとbの総和j＋k＝nとなる（つまり、j＝n－k）。.

二項展開への応用パスカルの三角形のもっとも簡単な応用は二項展開です．これはつぎの二項定理に基づいています．二項定理： (x y)n = n ∑ k=0nCkxkyn−k ( x y) n = ∑ k = 0 n n C k x k y n − k これより， (xy)n ( x y) n を展開したときの各項の係数は，二項係数になります．特に，展開の結果を知るには， nC0,⋯,nCn n C 0, ⋯, n C n の値をすべて知れば十分です．. このパスカルの三角形が具体的な数値になります。だから、これを利用すると覚える必要は無いのですが、 $ (a\,\,b)^4=a^4\,\,4a^3b\,\,6a^2b^2\,\,4ab^3\,\,b^4$ なんてのもすぐわかりますよね。 $\color{red}{ a の次数は下がり、b の次数は上がっている}$. つまり、パスカルの三角形と二項定理がリンクするためには、パスカルの三角形が以下の形になっている、ということです。パスカルの三角形は、このように二項係数を用いて表せるので、例えば、$$(ab)^4=a^44a^3b6a^2b^24ab^3b^4$$の係数が、上から $5$ 行目と全く同じになっていることがわかるかと思います！.

パスカルの三角形上のように、「係数を1つずらして足すと、次の展開の結果が分かる」ことを、もっとすっきり表したものが、「パスカルの三角形 (Pascal’s triangle)」と呼ばれるものです。 \begin{array}{ccccccccccc}.

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